Wybrane zagadnienia teorii liczb 360-MS1-3WZL

Profil kształcenia: ogólnoakademicki
Forma studiów: stacjonarne
Przedmiot fakultatywny
Dziedzina nauk ścisłych i przyrodniczych, dyscyplina: matematyka
Rok studiów: 3, semestr: 6
wykład 30 godz. ćwiczenia 30 godz.
Metody dydaktyczne: wykłady, ćwiczenia rachunkowe, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, dyskusje w grupach problemowych.

Punkty ECTS: 4
Bilans nakładu pracy studenta:
udział w wykładach15x2h = 30h
udział w ćwiczeniach 15x2h = 30h
przygotowanie do zajęć 8x1h = 8h
dokończenie rozwiązywania zadań rozpoczętych na ćwiczeniach i opracowanie w domu notatek po odbytych zajęciach (wykładach, ćwiczeniach) 6x4h = 24h
przygotowanie do egzaminu i udział w nim 4h + 4h = 8h

Wskaźniki ilościowe
nakład pracy studenta związany z zajęciami wymagającymi bezpośredniego udziału nauczyciela akademickiego: 68 godzin, 2,5 ECTS

W cyklu 2025:

1. Równanie Pella (4 godz.). Dowód Dirichleta istnienia rozwiązania. Rozwiązanie minimalne. Opisy wszystkich rozwiązań. Równania związane z równaniem Pella.
2. Ułamki łańcuchowe (4 godz.). Podstawy teoretyczne. Skończone ułamki łańcuchowe. Nieskończone ułamki łańcuchowe. Rozwijanie liczby niewymiernej na ułamek łańcuchowy.
3. Niewymierności kwadratowe (4 godz.). Określenie niewymierności kwadratowych. Okresowe ułamki łańcuchowe. Rozwijanie pierwiastka kwadratowego z liczby naturalnej na ułamek łańcuchowy. Zastosowania do równań ( x^2 - Dy^2 = C ).
4. Równania diofantyczne ( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 ) drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (2 godz.). Przypadek ( a = c = 0 ). Przypadek niezerowego ( a ) i zerowego wyróżnika. Przypadek niezerowego ( a ) i ujemnego wyróżnika. Przypadek niezerowego ( a ) i wyróżnika będącego kwadratem liczby naturalnej. Przypadek niezerowego ( a ) i dodatniego wyróżnika nie będącego kwadratem liczby naturalnej.
5. Równanie Pitagorasa i jego zastosowania (2 godz.).
6. Dowód twierdzenia Chao Ko (2 godz.).
7. Dziedziny całkowitości (4 godz.). Arytmetyka dziedzin całkowitości. Dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Pierścienie euklidesowe.
8. Pierścień liczb całkowitych Gaussa (4 godz.). Klasyfikacja elementów pierwszych. Sumy kwadratów dwóch liczb całkowitych. Twierdzenie Lebesgue’a.
9. Dowód twierdzenia Nagella (2 godz.).
10. Dowód twierdzenia Ramanujana-Nagella (2 godz.).

Założenia (lista przedmiotów)

Algebra I
Algebra liniowa I
Algebra liniowa II
Elementarna teoria liczb

Założenia (opisowo)

Student posiada podstawową wiedzę z Elementarnej teorii liczb, Algebry liniowej oraz Algebry ogólnej.

Koordynatorzy przedmiotu

Romuald Andruszkiewicz

Rodzaj przedmiotu

fakultatywne

Tryb prowadzenia przedmiotu

w sali

Efekty kształcenia

KA6_WG01 dobrze rozumie rolę i znaczenie dowodu w matematyce, a także pojęcie istotności założeń;
KA6_WG02 rozumie budowę teorii matematycznych, potrafi użyć formalizmu matematycznego do budowy i analizy prostych modeli matematycznych w innych dziedzinach nauk;
KA6_WG03 zna podstawowe twierdzenia z poznanych działów matematyki;
KA6_UW10 umie w zaawansowanym stopniu posługiwać się narzędziami i aparatem algebry liniowej; potrafi stosować metody algebry liniowej do rozwiązywania i opisywania problemów z działów matematyki objętych programem studiów;
KA6_UK01 potrafi w sposób zrozumiały, w mowie i na piśmie, przedstawiać poprawne rozumowania matematyczne, formułować twierdzenia i definicje;
KA6_UK03 potrafi mówić o zagadnieniach matematycznych zrozumiałym, potocznym językiem;

Kryteria oceniania

Ogólna forma zaliczenia: Zaliczenie na ocenę

Literatura

1. Andruszkiewicz R. R., Równania Diofantyczne, Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok 2021, ISBN 978-83-7431-707-8.
2. Andruszkiewicz R. R., Elementy Arytmetyki i teorii liczb z zadaniami, Wydawnictwo Uniwersytetu w Białymstoku, Białystok 2023, ISBN 978-83-7431-769-6.
3. Aczel A. D., Wielkie twierdzenie Fermata. Rozwiązanie zagadki starego matematycznego problemu, Wydawnictwo Prószyński i S-ka, Warszawa 1998.
4. Andreescu T., Andrica D., Cucurezeanu I., An Introduction to Diophantine Equantions, Springer-Birkhauser, New York 2010.

Więcej informacji

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 360-MS1-3WZL w USOSweb